Диагонали ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину диагоналей ромба по известным элементам. Для нахождения диагоналей ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.

1. Диагонали ромба через высоту и угол

Пусть известны высота и угол ромба (Рис.1).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и угол вычисляются по формулам

(1)
(2)

Формула стороны ромба через высоту и угол имеет следующий вид:

\(\small a=\frac{\large h}{\large \sin \alpha}.\)(3)

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то треугольник AOB прямоугольный. Тогда из теоремы синусов, имеем:

\(\small \frac{\large AO}{\large \sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{\large AB}{\large \sin 90°}\)
\(\small \frac{\large BO}{\large \sin (90°-\frac{\alpha}{2})}=\frac{\large AB}{\large \sin 90°}\)

или, учитывая \(\small AO=\frac{\large d_1}{\large 2} ,\) \(\small BO=\frac{\large d_2}{\large 2} ,\) \( \small AB=a ,\) \( \small \sin(90°-\frac{\alpha}{2})=\cos \frac{\alpha}{2} ,\) получим

\(\small d_1=2a \cdot \sin \frac{\alpha}{2},\)(4)
\(\small d_2=2a \cdot \cos \frac{\alpha}{2}\)(5)

Подставляя (3) в (4) и (5), и учитывая формулу синуса двойного угла \( \small \sin \alpha=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} ,\) получим:

Мы вывели формулы диагоналей ромба (1) и (2) через высоту и угол.

2. Диагонали ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и площадь вычисляются по формулам:

(6)
(7)

где

.(8)

В параграфе 1 мы вывели формулы длин диагоналей (6), (7) через высоту и угол. Покажем, что угол ромба через площадь и высоту вычисляется формулой (8).

В статье Сторона ромба мы вывели формулы стороны ромба через площадь и высоту, а также через высоту и угол:

\(\small a=\frac{\large S}{\large h},\)(9)
\(\small a=\frac{\large h}{\large \sin \alpha}.\)(10)

Сравнивая (9) и (10), получим:

\(\small \frac{\large S}{\large h}=\frac{\large h}{\large \sin \alpha}.\)

Откуда:

\(\small \sin \alpha=\frac{\large h^2}{\large S} \)

или

\( \small \alpha=\mathrm{arcsin}\frac{\large h^2}{\large S} \)

Заметим, что высота ромба не может быть больше стороны ромба ( \( \small h≤a \) ) и, следовательно, \( \small h^2≤a\cdot h=S .\)

3. Диагонали ромба через площадь и угол

Выведем формулу вычисления диагоналей ромба через площадь и угол. В статье Площадь ромба были выведены формулы площади ромба через угол и противолежащую диагональ и через угол и диагональ из данного угла:

\( \small S=\frac{\large d_1^2}{\large 2}\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} ,\)(11)
\( \small S=\frac{\large d_2^2}{\large 2}\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} .\)(12)

Из (11) и (12) найдем \( \small d_1 \) и \( \small d_2: \)

\( \small d_1^2=\frac{\large 2S}{\large \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}} \) \( \small = 2S \cdot \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} ,\)
\( \small d_2^2=\frac{\large 2S}{\large \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}} \) \( \small = 2S \cdot \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} ,\)
\( \small d_1=\sqrt{ 2S \cdot \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}} ,\)(13)
\( \small d_2=\sqrt{ 2S \cdot \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} }.\)(14)

4. Диагональ ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известна один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d1=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления диагонали d2=BD ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

\(\small \frac{\large AO}{\large BO}= \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}.\)

Откуда, учитывая, что \(\small AO=\frac{\large d_1}{\large 2}, \) \(\small BO=\frac{\large d_2}{\large 2}, \) получим формулу диагонали ромба через угол и противолежащую диагональ:

\(\small d_2=\frac{\large d_1}{\large \mathrm{tg} \frac{ \alpha}{ 2}}=d_1\cdot \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{ 2}.\)

или

\(\small d_2=d_1\cdot \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{ 2}.\)(15)

5. Диагональ ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d2=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления диагонали d1=AC ромба.

Из формулы (15) найдем d1:

\(\small d_1=\frac{\large d_2 }{\large \mathrm{ctg}\frac{ \alpha}{ 2}} =d_2 \cdot \mathrm{tg}\frac{ \alpha}{ 2} \)

или

\(\small d_1=d_2 \cdot \mathrm{tg}\frac{ \alpha}{ 2} \)(16)

6. Диагонали ромба через сторону и угол

Пусть известны сторона ромба и угол (Рис.6). Найдем диагонали ромба.

В статье Сторона ромба мы вывели формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ, а также формулу стороны ромба через угол и диагональ из данного угла:

\(\small a= \frac{\large d_1}{\large \sqrt{2-2 \cos \alpha }},\)(17)
\(\small a= \frac{\large d_2}{\sqrt{\large 2+2 \cos \alpha }}.\)(18)

Из формул (17) и (18) найдем d1 и d2:

\(\small d_1= a \cdot \sqrt{2-2 \cos \alpha },\)(19)
\(\small d_2= a \cdot \sqrt{2+2 \cos \alpha }.\)(20)

Получили формулы диагоналей ромба через угол и сторону ((19),(20)).

7. Диагонали ромба через площадь и радиус вписанной окружности

Пусть известны площадь ромба и радиус впианной в ромб окружности (Рис.7). Найдем диагонали ромба.

В параграфе 2 мы вывели формулы диагоналей ромба через площадь и высоту. Учитывая, что высота ромба равна радиусу вписанной в ромб окружности, умноженная на 2 (\( \small h=2r \)), формулы (6)−(8) примут следующий вид:

,(21)
,(22)

где

.(23)

Получили формулы длин диагоналей ромба через площадь и радиус вписанной окружности.