С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести радианы в градусы и наоборот. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Определение 1. 1 радиан − это величина центрального угла окружности радиуса R, которая опирается на дугу длины R.
Другое определение:
Определение 2. 1 радиан − это угловая величина дуги, длина которой равна радиусу.
Из геометрии известно, что угловая величина не зависит от радиуса окружности. Поэтому мы будем рассматривать окружности радиусом R=1. При R=1 формула, определяющая длину окружности имеет вид
| l=2πR=2π·1=2π ≈ 6.28. |
Поскольку длина окружности (при R=1) равна 2π, то совершив один полный оборот мы получим угол в 2π радиан. Но этот угол равен 360°. Тогда имеем
| 360°=2π радиан. | (1) |
Из уравнения (1) следует:
| (2) |
| . | (3) |
Mы получили формулы, определяющие всязь между градусом и радианом. Запись "радиан" обычно опускают, но подразумевают. Например можно записать:
В тригонометрии угловая величина может быть любым, даже отрицательным.
Пусть задана прямоугольная система координат xOy. Рассмотрим окружность радиусом 1 с центром в начале координат и пусть заданы векторы (Рис.2.).
Поворот вектора против часовой стрелки назовем положительным направлением, а по часовой стрелке − отрицательным. На рисунке Рис.2 вектор получится поворотом вектора в положительном направлении на 90° Это эквивалентно радианам. Вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 135°, что эквивалентно радианам.
Можно продолжить поворот и получить углы больше 180°. На Рис.2 вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 315° или на радиан. Еще раз напомним что − это длина дуги, которая рисует конец вектора продвигаясь до точки D.
Вектор в положительном направлении может совершить поворот, больше 360°.На рисунке Рис.3 вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 405°, что эквивалентно радианам. Т.е. можно сказать, что вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на 45° и поворотом еще на один полный оборот в положительном направлении (на 360°). В радианном представлении имеем: . Т.е. вектор получен поворотом вектора в положительном направлении на радиан и еще поворотом на один полный оборот в положительном направлении (на радиан) .
Рассмотрим, теперь поворот вектора в отрицательном направлении, т.е. в направлении по часовой стрелке (Рис.4).
Вектор получен поворотом вектора по отрицательному направлению на −45° или на радиан. Вектор получен поворотом вектора по отрицательному направлению на −135° или на радиан и т.д.
Наконец можем отметить, что для любого действительного числа α существует единственный угол, радианная мера которого равна α радиан и этот угол отложен от начального вектора в положительном направлении, при α≥0 и в отрицательном направлении, при α≤0. При α=0, этот угол равен нулю.
Таким образом, для любого угла его меру α (радиан) можно записать в виде
где k-некоторое целое число, а (радиан) удовлетворяет следующему неравенству.
Пример 1. Радианная мера угла равна 51. Найти градусную меру этого угла.
Решение:
Ответ:
Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 42.085° в положительном направлении и поворотом еще на 8 полных оборотов в положительном направлении.
Пример 2. Радианная мера угла равна -21. Найти градусную меру этого угла.
Решение:
Ответ:
Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 123.211° в отрицательном направлении и поворотом еще на 3 полных оборотов в отрицательном направлении.
Пример 3. Градусная мера угла равна 457°. Найти радианную меру этого угла.
Решение:
Ответ:
Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 1.653 радиан в положительном направлении и поворотом еще на 1 полный оборот () в положительном направлении.