С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы приведения тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на "sin", выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула приведения для этой функции и аргумента. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M1 и M2 так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M1 и M2 на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).
Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:
, |
Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор) имеем:
или
, |
. |
Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).
Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).
. |
Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:
. |
Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .
Из вышеизложенного следует:
или
Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.
. |
Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.
. |
Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .
Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :
или
Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):
Из следует и .
Тогда
, |
или
, |
. |
Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):
. |
Поскольку , следовательно . Тогда
или
. |
Так как , следовательно . Тогда
или
. |
Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .
Представленный выше онлайн калькулятор позволяет получить формулы приведения тригонометрических функциий. Отметим, однако, что зная несколько простых правил, эти формулы легко запомнить.
Во первых отметим, что угол α − это острый угол (т.е. меньше 90° или меньше ).
1. Аргумент функции должен быть представлен в виде , (или в градусах , ).
2. Для аргументов тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на конфункцию (т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов , тригонометрическая функция преобразуемого выражения не меняется.
3. Определяется знак исходной функций для данного аргумента. Полученая функция в правой части выражения будет иметь такой же знак.
Знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности представлены в рисунках (Рис.5, Рис.6).
Отметим, что угол α может быть также отрицательным. Все вышеизложенные соображения справедливы и в этом случае.
Пример 1. Записать формулу приведения для .
Решение. Согласно правилу 2 функция синус изменится на кофункцию (косинус). Функция синус для аргумента имеет знак "+" (угол находится во второй четверти, где знак синуса положительный (Рис.5)). Тогда получим следующую формулу:
. |
Пример 2. Записать формулу приведения для .
Решение. Согласно правилу 2 функция тангенс останется на правой стороне формулы неизменним. Функция тангенс для аргумента имеет знак "−" (угол находится во второй четверти, где знак тангенса отрицательный (Рис.6)). Тогда получим:
. |
Пример 3. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .
Решение. Так как функция синус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то
. |
Далее применяя формулу приведения, получим :
. |
Пример 4. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .
Решение. Так как функция косинус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то
. |
Далее применяя формулу приведения, получим :
. |
Ометим, что в последнем выражении аргумент 135° можно представить в виде 135°=90°+45°. Но конечный результат от этого не изменится:
. |