Арксинус и арккосинус. Онлайн калькулятор

Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения

Функция арксинус и ее график

Как известно, функция синус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арксинус.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция является нечетной: .
4. Функция возрастает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке (дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):

В отрезке (дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:

Действительно:

А из

следует

т.е.

Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке :

которые совпадают при |a|=1.

Поскольку функция синус периодичная с основным периодом 2π, имеем

Тогда получим решение (2) в виде

Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:

Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).

При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. ), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:

При |a|=−1, из (3) и (4) следует:

Но поворот эквивалентно повороту . То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения sin t=−1 запишем в виде:

При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Функция арккосинус и ее график

Как известно, функция косинус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (8) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арксинус.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
4. Функция убывает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t₁=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t₂=−arccos a(см. Рис.6):

Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.

Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом 2π:

то общее решение (9) имеет следующий вид:

При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:

При a=−1, имеем cos t=−1,

При a=0, имеем cos t=0,

Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воcпользуемся формулой (10):

Так как , то

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

Так как (), то

Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

С помощью онлайн калькулятора вычисляем : . Тогда решение можно записать так: