Арифметическая прогрессия онлайн

Определение 1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которого, начиная со второго равен сумме предыдующего числа и некоторого постоянного числа d.

d- называется разностью прогрессии.

Очевидно, что при d >0 арифметическая прогрессия является возрастающей прогрессией, а при d <0 - убывающей прогрессией. При d =0 все члены прогрессии равны первому члену, т.е. прогрессия стационарна.

Запишем арифметическую прогрессию исходя из определения 1:

т.е. любой n-ый член прогрессии можно вычислить аналитически по формуле:

или рекуррентно по формуле:

Формулу (2) запишем так:

То есть (3) является линейной функцией от n.

Пусть задана следующая арифметическая прогрессия:

Очевидно, что , тогда имеем:

или

На рис.1 представлена линейная функция y=3x−5 и на ней точками обозначены члены арифметической прогрессии (a_n): (1;a₁), (2;a₂), (3;a₃), ... Здесь абсциссы точек соответствуют номерам членов арифметической прогрессии, а ординаты точек соответствуют значениям членов прогрессии.

Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов.

Доказательство. Из определения арифметической прогрессии, имеем:

Тогда

Свойство 2 (обратное). Если в последовательности каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство. Пусть

Тогда

Из равенства (4) видно, что разность между предыдующими и последующими членами последовательности остаются постоянной. А это значит, что последовательность является арифметической прогрессией.

Из свойств 1 и 2 можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся арифметической прогрессией.

Свойство 3. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго есть средее арифметическое предыдующего и последующего членов.

Свойство 3 называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Пример 1. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность ниже, и если да, то определить ее разность:

Легко заметить, что предыдующый и последующий члены последовательности (5), начиная с − это и , соответственно.

Учитывая, что арифметическая прогрессия, можем записать:

Тогда

Получили

Из равенства (8) и свойства 3 следует, что последовательность (5) является арифметической прогрессией, а из (6) и (7) следует, что разность арифметической прогрессии равно 2d.

Пример 2. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность

и если да, то определить ее разность.

Решение. Запишем последовательность (9) в следующем виде:

Тогда имеем:

Поскольку арифметическая прогрессия, то

Из выражений (10)-(12) следует:

Следовательно последовательность (9) является арифметической прогрессией. Далее определим разность арифметической прогрессии (9). Так как разность арифметической прогрессии равна d, то имеем

Из (10), (11) и (13) следует, что разность арифметической прогрессии (9) равна −d.

Пример 3. Найти все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами

Решение. Имеем:

Подставляя значения и в последнее равенство, получим

Вычисляем все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для этого докажем, сначала следующее свойство арифметической прогресии:

Свойство 4. Пусть арифметическая прогрессия и пусть натуральные числа и . Тогда .

Доказательство. Пусть d разность прогрессии, тогда

Следовательно

Поскольку

получим .

Из доказанного свойства следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов.

Действительно. Пусть p и q первый и последний члены конечной арифметической прогрессии и пусть . Тогда . Перепишем равенство (15) так:

т.е.

Откуда следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов (Рис.2).

Теперь выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов арифметической прогрессии . Запишем два равенства располагая в первом случае все члены арифметической прогрессии в порядке возрастания, а во втором случае в порядке убывания номеров:

Складывая эти равенства, получим

Из свойства 4 следует, что

Тогда получим

Формулу (16) можно записать и в другом виде учитывая, что

т.е.

Рассмотрим примеры применения формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Пример 4. В армфметической прогрессии (a_n) найти S₁₆, если a₃+a₁₄=12 .

Решение. Запишем формулы 3-го и 14-го членов арифметической прогрессии используя формулу (2):

Сложив эти уравнения, получим:

Запишем далее формулу суммы первых 16 членов арифметической прогресии используя формулу (17):

Далее, из (18) и (19) получим:

Ответ: 96.

Пример 5. Известно, что (x_n) арифметическая прогрессия, в которой x₁=7, x₂₅=63. Найти x₁₃ и сумму членов с тринадцатого до двадцать пятый включительно.

Решение. Запишем фомулу для двадцать пятого члена арифметической прогрессии используя формулу (2):

Следовательно:

Подставим значения в (20):

Далее, найдем тринадцатый член арифметической прогресии:

Найдем суммы первых двенадцати и первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии:

Сумма членов арифметической прогрессии с тринадцатого до двадцать пятый включительно равна: