Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.
  |
| Рис.1 |
На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).
 |
В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.
Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.
 |
На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.
Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.
 |
На рисунке Рис.4 \( \small MN \) является средней линией трапеции \( \small ABCD, \) причем \( \small AM=MD,\;\; BN=NC. \)
Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).
Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).
  |
Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).
 |
Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.
Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что \( \small MN || AB, \) \( \small MN=\frac12 (AB+CD). \)
 |
Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то
| CN = NB | (1) |
Углы 1 и 2 вертикальные , следовательно
| \( \small \angle 1=\angle 2. \) | (2) |
Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).
| \( \small \angle 3=\angle 4. \) | (3) |
Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда \( \small MN \ || \ AP \) ( или \( \small MN \ || \ AB \)) и \( \small MN =\frac 12 AP \). Но \( \small AP=AB +BP=AB+CD \). Тогда \( \small MN =\frac 12 (AB+CD).\)
Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).
Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда \( \small \angle A+ \angle D=180°.\)
Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.
Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).
 |
Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:
 |
MP − является средней линией треугольника ADC, так как 
, 
. Тогда
 | (4) |
QN − является средней линией треугольника BCD, так как 
, 
Тогда
 | (5) |
Из 
и 
следует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).
Аналогично, из 
и следует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.
Далее, учитывая (4) и (5), получим:
  . |
Откуда
 . |
Далее, учитывая свойство 1, получим:
  , |
 . |
Свойсво 1'. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).
 |
Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)
Свойсво 2'. В равнобокой трапеции диагонали равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.
 |
Свойсво 3'. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:
  |
Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:
  |
Отсюда:
 . |
Далее
  |
или
 . |