Теорема 1. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметим точки C1 и A1, соответственно, а на продолжении стороны AC − точку B1. Для того, чтобы точки A1, B1, C1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
(1) |
Доказательство. Необходимость. Докажем, что если точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, то выполняется равенство (1).
Из вершин треугольника ABC опустим перпендикуляры AM, BP, CQ на прямую B1C1 (Рис.1).
Тогда \( \small \angle AMC_1= \angle BPC_1=90°. \) Углы AC1M и BC1P вертикальные, поэтому \( \small \angle AC_1M= \angle BC_1P. \) Следовательно треугольники AMC1 и BPC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда имеем:
(2) |
Аналогично, из подобия треугольников BPA1 и CQA1, получим
(3) |
Из подобия треугольников B1QC и B1MA, получим
(4) |
Перемножив левые и правые части равенств (2)−(4), получим:
Достаточность. Докажем, что если выполняется условие (1), то точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.
Пусть прямая C1B1 пересекает сторону BCтреугольника ABC в точке A2 (Рис.2). Так как точки C1, A2, B1 лежат на одной прямой, то выполнено следующее равенство (см. доказательство выше):
(5) |
Сопоставляя (5) с (1), получим:
Как видно из последнего равенства, точки A1 и A2 делят отрезок C1B1 в одном и том же соотношении. А это значит, что эти точки совпадают. Следовательно точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.
Замечание 1. Теорема 1 справедлива и для случая, когда точки A1, B1, C1 лежат на продолжениях сторон треугольника ABC (Рис.3).