С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.
Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).
Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.
Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).
Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).
Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.
Рассмотрим треугольник на Рис.5.
Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:
где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)
, |
Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:
(1) |
А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:
(2) |
Поскольку то (2) можно переписать так:
(3) |
Найдем x из (3):
(4) |
Тогда:
или
(5) |
Подставим (4) и (5) в (1):
или
. | (6) |
Cледовательно
. |
Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):
, |
. | (7) |
Тогда
. | (8) |
Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:
. | (9) |
Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):
. |
Следовательно
. | (10) |
Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:
, |
, |
. |
Учитывая, что , получим:
или
. |
Тогда
. | (11) |
Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:
. | (12) |
Подставляя (12) в (11) получим:
. |
то есть
. | (13) |
Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:
. |
Тогда
. |
Остается показать, что .
Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:
. | (14) |
Далее
. |
Тогда
. | (15) |
Подставляя (14) в (15), получим:
или
. |