Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

(1)

где |·|-модуль вектора, φ -угол между векторами.

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

(2)

 

Скалярное произведение векторов

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x' и y' с координатами (т.е. с конечными точками):

где

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Так как |x'|=|x| , |y'|=|y| и угол между векторами x' и y' равен углу между векторами x и y, следовательно

Учитывая (2) получаем:

 

Скалярное произведение векторов

Рис. 2

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Переместим параллельно векторы так, что их начальные точки совпали с началом координат. Тогда x'=(9-4, -2-1)=(5, -3), y'=(5-1, 6-2)=(4,4), |x'|=|x| , |y'|=|y| и угол между векторами x' и y' равен углу между векторами x и y. Следовательно

 

  • Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
  •  
  • 1. (x,y)=(y,x) ( коммутативность) .
  • 2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) (дистрибутивность относительно сложения векторов).
  • 3. λ(x,y)=(λx,y)=(x,λy) (ассоциативность относительно умножения на число).