Суммой x+y векторов x и y называется вектор, проведенный из начала x к концу у, если вектор у параллельно перемещен так, что конец x и начало y совмещены.
Рис. 1
Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.
Построим сумму z=x+y векторов 
и 
.
Для построения суммы векторов z=x+y, нужно переместить параллельно вектор y так, чтобы начало вектора y совпало с концом вектора x. Тогда конец полученного вектора y' будет конечной точкой суммы векторов z=x+y.
Таким образом, для получения суммы векторов x и y достаточно сложить соответствующие координаты векторов x и y:  |
На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлен процесс сложения векторов x=(9,1) и y=(2,4).
Вычислим z=x+y=(9+2, 1+4)=(11,5). Сравним полученный результат с геометрической интерпретацией. Действительно, после параллельного перемещения вектора y на позицию y' и сложения x и y', получим вектор z=(11,5).
Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.
Рассмотрим процесс сложения двух векторов x и y. Пусть вектор x имеет начальную точку 
и конечную точку
, а вектор y - начальную точку 
и конечную точку 
. Для того, чтобы параллельно переместить вектор y, нужно каждый элемент i точек C и D увеличить на соответствущую величину γi:
 | (1) |
а для того, чтобы точка C переместилась в точку B, должны выполняться условия
 | (2) |
Следовательно
 | (3) |
Подставляя (3) в (1), получим:
 | (4) |
  |
Из выражений (4) видно, что точка C' совпала с точкой B, и, следовательно, вектор 
переместился в нужную позицию BD'. Таким образом, начальная точка вектора x+y будет точка A, а конечная точка - будет точка D', которая вычисляется из выражения в (4).
Рис. 2
На рисунке Рис.2, для получения суммы векторов x и y, вектор y перемещается параллельно так, чтобы его начало совмещалось с концом вектора x (вектор y' ). Вектор z=x+y получится соединив начало x и конец вектора y'.
Рассмотрим процесс сложения векторов, начальные точки которых не совпадают с началом координат. На Рис.2 представлен процесс сложения векторов x=AB и y=CD, где A(1,1), B(10,-3), C(1,2), D(2,7). Из выражений (4) вычисляем координаты точки D':
   |
Сумма векторов z=x+y будет иметь начальную точку A(1,1) и конечную точку D'(11,2).
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1. x+y=y+x (коммутативность).
2.(x+y)+w=x+(y+w) (ассоциативность).
3. x+0=x (наличие нулевого вектора).
4. x+(-x)=0 (наличие противоположного вектора).
Пример 1. Вычислить сумму векторов AB и CD, где A(2,2), B(7,6), C(5,6), D(10,7).
Вычислим новое расположение точек C и D, используя выражения (4). Тогда
C'(7,6), D'(10+7-5, 7+6-6)=D(12,7).
Сумма векторов AB и CD будет вектор AD', где A(2,2), D'(12,7).
Пример 2. Вычислить сумму векторов AB и у, где A(4,3), B(5,8), y=(7,3).
Так как вектор y представлен в виде координат, то это означает, что начальная точка вектора y является C(0,0) а конечная точка - D(7,3).
Вычисляя новое расположение вектора y, получим новые точки
C'(5,8), D'(7+5-0, 3+8-0)=D'(12,11).
Наконец, сумма векторов AB и y будет вектор AD', где A(4,3), D'(12,11).