Для любой матрицы A, A+ является псевдообратной матрицей тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
(0) |
Пусть C r×n матрица, r<n и rank(C)=r. Тогда
C+=CT(CCT)-1.
Пусть B m×r матрица, m>r и rank(B)=r. Тогда
B+=(BTB)-1BT.
Для произвольной матрицы A порядка m×n и ранга r, псевдообратная матрица A+ можно получить следующим образом:
1. Производиться скелетное разложение матрицы A:
A=BC,
где B m×r матрица, rank(B)=r, C rxn матрица, rank(C)=r.
2. Строятся матрицы С+ и B+:
C+=CT(CCT)-1,
B+=(BTB)-1BT.
3. Матрица A+ вычисляется из следующего выражения:
A+=(BC)+=C+B+.
Заметим, что если A n×n матрица и rank(A)=n, то
A+=A-1.
Рассмотрим пример из раздела скелетное разложение матрицы:
Для построения псевдообратной матрицы сделаем скелетное разложение:
Тогда
Подставляя A и A+ в уравнения (0), можно убедиться, что A+ является псевдообратной к A матрицей.
Пусть задана система линейных уравнений
Ax=b. | (1) |
где A - m×n - матрица, x∈Rn, b∈Rm.
Найдем решение системы (1), если оно существует.
Перепишем систему (1) в следующем виде:
(2) |
где - векторы столбцы матрицы A, - координаты вектора x.
Из системы (2) следует, что для того, чтобы система (1) имела решение вектор b должен быть линейной комбинацией векторов столбцов матрицы A c коэффициентами . Таким образом, можно записать, что для совместности системы (1) должно выполняться условие
b∈R(A), | (3) |
где R(A) - пространство столбцов матрицы A.
Построим псевдообратную к A матрицу A+. Рассмотрим вектор
x'=A+b. | (4) |
Подставим (4) в систему (1):
AA+b=b. | (5) |
Если система совместна, т.е. если выполнено условие (3), то R(AA+)≡R(A) и, следовательно, справедливо равенство (5) и x' является решением (1).
Для нахождения псевдообратной матрицы пользуйтесь матричным онлайн калькулятором .