С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов геометрической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которого начиная со второго равен произведению предыдующего числа и некоторого постоянного q.
Из определения следует, что q≠0.
Пусть − геометрическая прогрессия. Тогда частное () при любом n равно одному и тому же числу q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
При q>0 все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член, а при q<0 знаки геометрической прогресии чередуются.
Если первый член геометрической прогрессии a1>0 и q>1, то (an) является возрастающей последовательностью, а при 0<q<1 геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью.
Если первый член геометрической прогрессии a1<0 и q>1, то геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью, а при 0<q<1 − возрастающей.
При q=1 геометрическия прогрессия состоит из одинаковых членов, т.е. последовательность стационарна.
Запишем геометрическую прогрессию исходя из определения 1:
т.е. любой n-ый член прогрессии можно вычислить аналитически по формуле:
| (1) |
Запишем формулу (1) в другом виде:
| (2) |
Из формулы (2) следует, что геометрическая прогрессия представляет собой последовательность, которая задается формулой
| (3) |
где и u − некоторые отличные от нуля числа.
Рассмотрим обратное. Если последовательность задана формулой (3), где c и u некоторые отличные от нуля числа, то она является геометрической прогрессией.
Действительно. Пусть последовательность an задана формулой (3). Тогда n- ый и n+1-ый члены последовательности имеют следующий вид:
| , |
Следовательно
Значит последовательность (an) геометрическая прогрессия (определение 1).
Вышеизложенное можно сформулировать в виде утверждения:
Утверждение 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда n- ый член последовательности задана формулой
где c и u некоторые отличные от нуля числа, причем u является знаменателем геометрической прогрессии.
Рассмотрим, далее, свойство геометрической прогрессии. Из определения геометрической прогрессии следует:
| , |
где отличные от нуля числа. Тогда
| , . |
Откуда
| . |
Следовательно
| . | (4) |
Таким образом имеет место следующее свойство:
Свойство 1. Если последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов.
Справедливо и обратное:
Свойство 2. Пусть задана последовательность (an) с членами, отличными от нуля. Если для членов последовательности (an) справедливо равенство , (), то данная последовательность является геометрической прогрессией.
Действительно. Пусть выполнено равенство (4) при любом n, причем отличные от нуля числа. Тогда . Последнее означает, что отношение любого члена последовательности к предыдующему члену равно одному и тому же числу. А это означает, что эта последовательность геометрическая прогрессия.
Равенство (4) равносильно равенству
| . |
т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов.
Из вышеизложенного можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся геометрической прогрессией:
Свойство 3. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов (или квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов).
Свойство 3 называется характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство объясняет название "геометрическая прогрессия".
Пример 1. Последовательность an геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
| . | (5) |
Решение. Так как an геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:
| . | (6) |
Для последовательности (5) можем записать:
| , . | (7) |
Из (6) и (7), следует, что
| . |
т.е. последовательность (5) является геометрической прогрессией.
Пример 2. Последовательность an геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
| . | (8) |
Решение. Так как an геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:
| . | (9) |
Для последовательности (8) можем записать:
| , . | (10) |
Из (9) и (10), следует, что
| . |
т.е. последовательность (8) является геометрической прогрессией.
Пример 3. Задана геометрическая прогрессия 2, 6, 18, ... . Встретится ли среди них число 486.
Решение. Знаменатель данной геометрической прогрессии равно
n-ый член геометрической прогрессии вычисляется формулой:
| . | (11) |
Подставим значения первого члена, знаменателя и число 486 в качестве n-го члена в (11):
| . |
или
| . | (12) |
Рассмотрим, существует ли натуральное число n такое, что выполнено (12). Подставляя n=6, в (12) получим тождество. Следовательно число 486 встречается среди членов геометрической прогрессии.
В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Пусть (an) геометрическая прогрессия и пусть q знаменатель этой прогрессии. Обозначим через Sn сумму первых n членов геометрической прогрессии, т.е.
| . | (13) |
Умножим обе части равенства (13) на q:
| . | (14) |
Из определения 1 следует:
| . | (15) |
Тогда, учитывая (15), равенство (14) можно записать так:
| . | (16) |
Вычтем из (16) равенство (13):
| . |
Тогда
| . |
| . | (17) |
Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для q≠1. Формулу (17) можно записать и в другом виде, учитывая, что :
| . | (17') |
При q=1 все члены геометрической прогрессии равны первому члену a1, следовательно, в этом случае
| . |
Пример 4. Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, если , , .
Решение. Воспользуемся формулой (17'):
| . |
Ответ: .
Пример 5. Сколько членов геометрической прогрессии
| . |
надо сложить, чтобы полученная сумма была 3066?
Решение. Во первых найдем знаменатель геометрической прогрессии:
| . |
Поскольку в данной геометрической прогрессии , то используя формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии:
| . |
получим:
| . |
| . |
| , . |
Ответ: .
Пример 6. Найти сумму в которых слагаемые составляют геометрическую прогрессию:
| . | (18) |
Решение. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:
| . |
Найдем, далее, количество членов в прогрессии (18). Так как
| , |
имеем
| , |
Найдем, наконец, сумму n членов геометрической прогрессии:
| , |
| . |
Ответ: .