QR-разложение матрицы онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить QR-разложение матрицы (а также LQ-разложение матрицы). Дается подробное решение с пояснениями. Для разложения матрицы выберите метод разложения, введите элементы матрицы в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Максимальный размер матрицы для вычислений с обыкновенными дробями 10×10. Максимальный размер матрицы для вычислений c десятичными дробями 20×20;

QR−разложение матрицы − теория, примеры и решения

QR-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения

A=QR(1)

где Q-ортогональная матрица, R - верхняя треугольная матрица.

Пусть A квадратная матрица порядка n×n и пусть rank(A)=n. Для построения QR-разложения матрицы, сделаем ортогонализацию Грамма-Шмидта для матрицы A. Как сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта посмотрите на странице Ортогональная матрица. Ортогонагизация Грамма-Шмидта. Отметим, что ортогонализацию нужно проводить с столбцами матрицы A. Т.е. столбцы полученной матрицы должны быть ортогональны друг другу. Далее из этой матрицы строим отрогональную матрицу Q. Для этого нормируем все столбцы полученной матрицы. Далее вычисляем матрицу R из уравнения A=QR. Для этого умножаем обе части уравнения слева на матрицу Q−1. Тогда

Q−1A=Q−1QR=R.(2)

Так как для ортогональной матрицы справедливо равенство Q−1=QT, то (2) можно переписать так:

QTA=QTQR=R

или

R=QTA(3)

Таким образом, после построения отрогональной матрицы Q, вычисляется матрица R из формулы (3). QR-разложение выполнено.

Пример 1. Сделать QR− разложение матрицы A:

Сделаем сначала ортогонализачию Грамма-Шмидта матрицы A. Обозначим через a1, a2, a3 векторы-столбцы матрицы A.

Построим векторы-столбцы b1, b2, b3 матрицы B следующим образом:

(a2, b1)=15, (b1, b1)=26, c1=(a2, b1)/(b1, b1)=0.5769.

(a3, b1)=22, (b1, b1)=26, c1=(a3, b1)/(b1, b1)=0.8462.

(a3, b2)=4.3082, (b2, b2)=5.3462, c2=(a3, b2)/(b2, b2)=0.8058.

Нормируем матрицу, делив каждый элемент матрицы на норму соответствуюшего столбца:

Полученная матрица является ортогональной матрицей. Тогда QT=Q−1. Найдем матрицу R из выражения R=Q−1A=QTA:

Проверка QR=A:

 

LQ-разложение матрицы − теория, примеры и решения

LQ-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения

A=LQ(4)

где L - нижняя треугольная матрица, Q-ортогональная матрица .

Аналогично QR− разложению, при LQ− разложении сначала сделаем ортогонализацию Грамма-Шмидта для матрицы A но так, чтобы строки полученной матрицы были ортогональны друг другу. Как сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта посмотрите на странице Ортогональная матрица. Ортогонагизация Грамма-Шмидта. Далее нормируем все строки этой матрицы. Получим отрогональную матрицу Q. Затем вычисляем матрицу L из уравнения A=LQ. Для этого умножаем обе части уравнения справа на матрицу Q−1. Тогда

AQ−1=LQQ−1=L.(5)

Так как для ортогональной матрицы справедливо равенство Q−1=QT, то (5) можно переписать так:

AQT=LQQT=L.

или

L=AQT.(6)

Таким образом, после построения отрогональной матрицы Q, вычисляется матрица L из формулы (6). LQ-разложение выполнено.

Пример 2. Сделать LQ− разложение матрицы A:

Сделаем сначала ортогонализачию Грамма-Шмидта матрицы A. Обозначим через a1, a2, a3 векторы-строки матрицы A.

Построим векторы-строки b1, b2, b3 матрицы B следующим образом:

(a2, b1)=−1, (b1, b1)=14, c1=(a2, b1)/(b1, b1)=−0.0714.

(a3, b1)=4, (b1, b1)=14, c1=(a3, b1)/(b1, b1)=0.2857.

(a3, b2)=41.2856, (b2, b2)=68.9286, c2=(a3, b2)/(b2, b2)=0.599.

Нормируем матрицу, делив каждый элемент матрицы на норму соответствуюшей строки:

Полученная матрица является ортогональной матрицей. Тогда QT=Q−1. Найдем матрицу L из выражения L=AQ−1=AQT:

Проверка QR=A: