С помощю этого онлайн калькулятора можно получить QR-разложение матрицы (а также LQ-разложение матрицы). Дается подробное решение с пояснениями. Для разложения матрицы выберите метод разложения, введите элементы матрицы в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Результат уже получен!
QR-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения
| A=QR | (1) |
где Q-ортогональная матрица, R - верхняя треугольная матрица.
Пусть A квадратная матрица порядка n×n и пусть rank(A)=n. Для построения QR-разложения матрицы, сделаем ортогонализацию Грамма-Шмидта для матрицы A. Как сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта посмотрите на странице Ортогональная матрица. Ортогонагизация Грамма-Шмидта. Отметим, что ортогонализацию нужно проводить с столбцами матрицы A. Т.е. столбцы полученной матрицы должны быть ортогональны друг другу. Далее из этой матрицы строим отрогональную матрицу Q. Для этого нормируем все столбцы полученной матрицы. Далее вычисляем матрицу R из уравнения A=QR. Для этого умножаем обе части уравнения слева на матрицу Q−1. Тогда
| Q−1A=Q−1QR=R. | (2) |
Так как для ортогональной матрицы справедливо равенство Q−1=QT, то (2) можно переписать так:
| QTA=QTQR=R |
или
| R=QTA | (3) |
Таким образом, после построения отрогональной матрицы Q, вычисляется матрица R из формулы (3). QR-разложение выполнено.
Пример 1. Сделать QR− разложение матрицы A:
Сделаем сначала ортогонализачию Грамма-Шмидта матрицы A. Обозначим через a1, a2, a3 векторы-столбцы матрицы A.
Построим векторы-столбцы b1, b2, b3 матрицы B следующим образом:
(a2, b1)=15, (b1, b1)=26, c1=(a2, b1)/(b1, b1)=0.5769.
(a3, b1)=22, (b1, b1)=26, c1=(a3, b1)/(b1, b1)=0.8462.
(a3, b2)=4.3082, (b2, b2)=5.3462, c2=(a3, b2)/(b2, b2)=0.8058.
Нормируем матрицу, делив каждый элемент матрицы на норму соответствуюшего столбца:
Полученная матрица является ортогональной матрицей. Тогда QT=Q−1. Найдем матрицу R из выражения R=Q−1A=QTA:
Проверка QR=A:
LQ-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения
| A=LQ | (4) |
где L - нижняя треугольная матрица, Q-ортогональная матрица .
Аналогично QR− разложению, при LQ− разложении сначала сделаем ортогонализацию Грамма-Шмидта для матрицы A но так, чтобы строки полученной матрицы были ортогональны друг другу. Как сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта посмотрите на странице Ортогональная матрица. Ортогонагизация Грамма-Шмидта. Далее нормируем все строки этой матрицы. Получим отрогональную матрицу Q. Затем вычисляем матрицу L из уравнения A=LQ. Для этого умножаем обе части уравнения справа на матрицу Q−1. Тогда
| AQ−1=LQQ−1=L. | (5) |
Так как для ортогональной матрицы справедливо равенство Q−1=QT, то (5) можно переписать так:
| AQT=LQQT=L. |
или
| L=AQT. | (6) |
Таким образом, после построения отрогональной матрицы Q, вычисляется матрица L из формулы (6). LQ-разложение выполнено.
Пример 2. Сделать LQ− разложение матрицы A:
Сделаем сначала ортогонализачию Грамма-Шмидта матрицы A. Обозначим через a1, a2, a3 векторы-строки матрицы A.
Построим векторы-строки b1, b2, b3 матрицы B следующим образом:
(a2, b1)=−1, (b1, b1)=14, c1=(a2, b1)/(b1, b1)=−0.0714.
(a3, b1)=4, (b1, b1)=14, c1=(a3, b1)/(b1, b1)=0.2857.
(a3, b2)=41.2856, (b2, b2)=68.9286, c2=(a3, b2)/(b2, b2)=0.599.
Нормируем матрицу, делив каждый элемент матрицы на норму соответствуюшей строки:
Полученная матрица является ортогональной матрицей. Тогда QT=Q−1. Найдем матрицу L из выражения L=AQ−1=AQT:
Проверка QR=A: