Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
(1) |
Умножим обе части первого уравнения на a22 а второе на -a12 и сложим. Получим следующее уравнение
Далее, первое уравнение умножим на -a21 а второе на a11 и сложим:
Пусть Тогда решение системы (1) примет следующий вид:
Выражение называется определителем матрицы
и обозначается:
Нетрудно заметить, что
Таким образом, решение системы линейных уравнений можно представить в виде:
Рассмотрим случай из трех неизвестных и трех уравнений. Пусть дана система линейных уравнений
(2) |
Исключим неизвестные x2 и x3. Для этого умножим первое уравнение на a22a33-a32a23, второе на -(a12a33-a13a32), третье на a12a23-a22a13, и сложим:
Сделаем следующие обозначения:
Учитывая, что выражения перед элементами x2 и x3 равны нулю, имеем:
Выражение называется определителем матрицы
(3) |
и обозначается:
(3a) |
Элементы Mij называются минорами элементов aij, и являются определителями матрицы (3), полученные вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Заметим, что выражение
является определителем матрицы
Если определитель (3a) неравен нулю, то x1 вычисляется из следующего выражения:
Аналогично вычисляются x2 и x3, умножая уравнения системы (2) на соответствующие выражения и суммируя:
Распространяя вышеизложенное на системы линейных уравнений с n неизвестными и n уравнениями можно сформулировать понятие определителя для квадратной матрицы порядка n.
Пусть задана матрица
(4) |
Определителем порядка n, соответствующим матрице (4), называется число равное
(5) |
Сделаем следующее обозначение:
Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:
(6) |
Aij называется алгебраическим дополнением элемента aij.
В вышеизложенном выражении определитель вычисляется суммируя произведения всех элементов первого столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. Аналогично можно показать, что определитель равна сумме произведений всех элементов какой либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
(7) |
Однако, для вычисления определителя матрицы большой размерности, такой подход требует больших усилий. Ниже мы представим более оптимальный метод вычисления определителя. Для этого сначала изложим некоторые важные свойства определителей.
Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнему треугольному виду с помощью исключения Гаусса. Тогда выражение (7) примет следующий вид:
(8) |
где Z- общее количество перестановок. При каждой перестановке строк, изменяется знак определителя на обратное (свойство 1). Если общее число перестановок нечетное, то нужно поменять знак произведения элементов главной диагонали на обратное.
Для нахождения определителя матрицы вы можете использовать матричный онлайн калькулятор. Для подробного решения используйте онлайн калькулятор для вычисления определителя матрицы.