Задача о назначениях онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить задачу о назначениях (задачу о выборе) венгерским методом. Для решения задачи о назначениях задайте размерность матрицы, выберите из вариантов "максимальная прибыль" и "минимальные расходы". Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Задача о назначениях − теория

Математическая задача о назначениях или задача о выборе формулируется следующим образом. Требуется выбрать такую последовательность элементов из следующей квадратной матрицы

чтобы достигала своего максимального значения, причем при . Другими словами, нужно выбрать из каждого столбца и каждой строки ровно по одному элементу так, чтобы их сумма была максимальной.

Отметим, что если бы матрица C была устоена так, что максимальные элементы каждой строки лежали бы в разных столбцах, то решение задачи было бы элементарным, т.е. к качестве решения нужно было выбрать эти максимальные элементы. Однако обычно максимальные элементы нескольких строк(столбцов) расположены в одном и том же столбце (строке) и решение проблемы затрудняется.

При решении задачи о назначениях применяется венгерский метод, что существенно упрощает решение задачи.

Венгерский метод

Сделаем несколько определений.

1. Нулевые элементы квадратной матрицы S будем называть независимыми нулями, если столбец и строка, в которых находится данный нулевой элемент не содержат другого нулевого элемента.

2. Две прямоугольные матрицы и порядка mxn называются эквивалентными, если , , .

Решение задачи имеет подголовительную и итерационную части.

Подготовительная часть. Для каждого столбца матрицы C найдем максимальный элемент и из этого элемента вычитаем каждый элемент данного столбца. (Если рассматривается задача на минимум, то находим минимальный элемент каждого столбца и из элементов данного столбца вычитаем этот минимальный элемент. Далее все по нижеизложенному алгоритму). В результате получим матрицу, в каждом столбце которой имеется нулевой элемент . Далее находим минимальный элемент каждой строки и из элементов данной строки вычитаем этот минимальный элемент. В результате получим матрицу, в каждой строке и в каждом столбце имеется по крайней мере один нулевой элемент.

Далее отмечаем звездочкой произвольный нуль в пероом столбце и просматриваем второй столбей и если в нем есть нули и в этой строке нет отмеченного нуля, то отмечаем данный нуль звездочкой. Аналогичным образом поступаем и с остальными столбцами. Отмеченные нули являются независимыми.

Этап 1. Если количество независимых нулей равно размерности матрицы, то задача решена и позиции отмеченных нулей является решением задачи о назначениях. Если же количество независимых нулей меньше n, то продолжаем процедуру. Выделяем столбцы матрицы C содержащие нули со звездочкой. Если среди невыделенных элементов матрицы нет нулевых, то переходим к этапу 3. Если обнаруживается невыделенный нуль, то есть два варианта:

Вариант 1. Строка, содержащая невыделенный нуль содержит также нуль со звездой. В этом случае ставим над найденным нулем знак °, выделяем строку, содержащую этот нуль, снимаем выделение из столбца, на пересечении которой с только что выделенной строкой находится нуль со звездой. Далее, если обнаруживается невыделенный нуль, переходим к этапу 1. Если невыделенных нулей нет, то переходим к этапу 3.

Вариант 2. Строка, содержащая невыделенный нуль не содержит нуль со звездой. В этом случае отмечаем этот нуль знаком ° и переходим к этапу 2.

Этап 2. Исходя из нуля со знаком °, в строке которой нет нуля со звездой (вариант 2) строим следующую цепочку элементов матрицы C: Исходный 0° − 0* (лежащий в одном столбце (если существует)) − 0° (лежащей в одной строке с предшествующим 0* и т.д. Цепочка имеет вид 0°−0*−0°−... и обязательно заканчивается 0°. Там, где 0°, заменяем на 0*, а на четных позициях уничтожаем знак * над нулями. Далее уничтожаем все ° над нулями и снимаем выделения из столбцов и строк. Число независимых нулей увеличился на единицу. Переходим к этапу 1.

Этап 3. К этому этапу переходим после завершения этапа 1, когда независимых нулей нет.

Среди невыделенных элементов находим минимальный q>0. Далее величину q вычитаем из всех элементов матрицы C расположенных на невыделенных строках, и прибавляем ко всем элементам на выделенных столбцах (можно и так: величину q вычитаем из всех невыделенных элементов матрицы C и прибавляем ко всем элементам, находящимся на пересечении выделенных строк и столбцов). В полученной матрице появятся невыделенные нули поэтому переходим к этапу 1.

Для рассмотрения численного примера задачи о назначениях (задачи выбора), введите в кальнуляторе в начале страницы элементы матрицы и нажмите на кнопу вычислить. Онлайн калькулятор выдаст подробное рашение задачи.