Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида 
, сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.
Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения
Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.
Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы 
и 
соответственно. Пусть задано отображение
| y=Ax, | (1) |
где A - m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:
 , | (2) |
 . |
Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.
Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда
 | (3) |
является разложением x в по базису .
Применим оператор A к базисным векторам :
 | (4) |
где aij − координаты полученного вектора в базисе .
Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем
  |
(5) |
Сделаем следующее обозначение:
 | (6) |
Тогда равенство (5) примет следующий вид:
 | (7) |
Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты yi, i=1,2,...,m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2,...n с коэффициентами aij i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
Построим матрицу A с элементами aij:
 | (8) |
Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:
| y=Ax. | (9) |
Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .
Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B - mxn − матрицы соответствующие этим операторам.
Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством
| Cx=Ax+Bx, x∈R, | (10) |
где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.
Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.
Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:
| Cej=Aej+Bej= | n | (aij+bij)ej |
| ∑ | ||
| j=1 |
Следовательно оператору C отвечает матрица 
,где i=1,2,...m, j=1,2,...n, т.е.
| C=A+B. | (11) |
Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.
Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
| Cx=A(Bx), x∈R. | (12) |
Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.
Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C
| y=Bx, z=Ay, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
| y=Bx, z=Ay, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
| Cx=A(Bx)=(AB)x. |
Учитывая произвольность х, получим
| C=AB. | (13) |
Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.
Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.
Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
| Cx=λ(Ax) | (14) |
Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства
| y=Ax, z=λy, z=Cx |
можно записать в виде матричных равенств
| y=Ax, z=λy, z=Cx |
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
| Cx=λ(Ax)=(λA)x. |
Учитывая произвольность х, получим
| C=λA. | (15) |
Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.
Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:
| Ox=0. |
Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:
| −A=(−1)A. |
Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.
Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.
Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.
Образ линейного оператора обозначается символом im A.
Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).