С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:
 . | (1) |
 . | (2) |
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).
 |
Решение. Уравнение прямой L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1) и имеет направляющий вектор q1={m1, p1, l1}. Уравнение прямой L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2) и имеет направляющий вектор q2={m2, p2, l2}.
Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.
Уравнение плоскости можно записать формулой
| Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:
| Ax1+By1+Cz1+D=0. | (4) |
Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am1+Bp1+Cl1=0 | (5) |
Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am2+Bp2+Cl2=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
 | (7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (8) |
паралленьно другой прямой L2 :
 | (9) |
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и имеет направляющий вектор
 |
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(1, 1, −2) и имеет направляющий вектор
 |
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n={A, B, C} перпендикулярна направляющему вектору q1={m1, p1, l1}={1, 1, −3} прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
 | (10) |
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
 | (11) |
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
 | (12) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (10)−(12). Подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (10),(11) и (12):
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
 | (16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
 | (17) |
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n={A, B, C}={−13/24,1/6,−1/8} то она может быть представлена формулой:
| Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:
 | (18) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:
| 13x−4y+3z−24=0 | (19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).
------------------Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
 | (20) |
и паралленьной другой прямой L2
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1( −2, 0, 1) и имеет направляющий вектор Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(1, 1,−2) и имеет направляющий вектор Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n={A, B, C} перпендикулярна направляющему вектору q1={m1, p1, l1}={5, −8, 3} прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию: а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством: Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие: Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (22)−(24). Подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (22),(23) и (24): Представим эти уравнения в матричном виде: Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D: Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n={A, B, C}={11/35,2/35,−13/35} то она может быть представлена формулой: Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим: Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35: Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).
(21)
q1={m1, p1, l1}={5, −8, 3}
q2={m2, p2, l2}={1, 1, 1}
Ax1+By1+Cz1+D=0 (22)
(23)
(24)
A(−2)+B·0+C·1+D=0, (25) A·5+B(−8)+C·3=0, (26) A·1+B·1+C·1=0, (27)
(28)
(29)
Ax+By+Cz+D=0 (30)
(31)
11x+2y−13z+35=0 (32)