В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.
Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:
, | (1) |
где a, b, c отличные от нуля числа.
Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).
Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0) и M3(0, 0, с).
Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.
Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:
. |
Ответ:
. |
Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:
. |
Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:
или
. |
Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:
. |
Перевести уравнение к общему виду.
Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
. |
Умножив обе части уравнения на 10, получим:
или
. |
Ответ:
. |
Пусть задано общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D=0, |
где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).
Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:
. | (2) |
Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:
. | (3) |
Сделаем следующие обозначения:
Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).
Пример 3. Привести общее уравнение прямой
−2x+3y+5z−4=0 |
к уравнению прямой в отрезках.
Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим:
или
Ответ: