С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением
| (1) |
и плоскостью P, заданной общим уравнением
| Ax+By+Cz+D=0. | (2) |
где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.
Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.
Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:
| φ+ψ=90°. |
| cosψ=cos(90−φ)=sinφ. | (3) |
Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:
| φ=0. |
| 0=cosψ=sinφ. |
Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.
Тогда имеем:
| ψ−φ=90°. |
| cosψ=cos(90+φ)=−sinφ. | (4) |
Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то
| sinφ=⃒ cosψ ⃒ | (5) |
Из определения скалярного произведения векторов имеем:
| (6) |
Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ
| (7) |
или
| (8) |
Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.
Пример 1. Найти угол между прямой L:
| (9) |
и плоскостью P:
| (10) |
Решение.
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).
Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:
| . | (11) |
Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:
| . |
Упростим и решим:
| . |
Найдем угол φ:
Ответ:
| . |
Пример 2. Найти угол между прямой L:
| (12) |
и плоскостью P:
| (13) |
Решение.
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).
Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:
| . | (14) |
Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:
| . |
Упростим и решим:
| . |
Найдем угол φ:
Ответ:
| . |
Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:
| 2·(4, 1, 3)=(8, 2, 6). |
В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.