Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M0 на плоскость α, необходимо:

  • построить прямую L, проходящую через точку M0 и ортогональной плоскости α.
  • найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).
Проекция точки на плоскость

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0,
A2t+Ax0+B2t+By0+C2t+Cz0+D=0,
(5)

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1 точки M0 на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M1 точки M0(4, -3, 2) на плоскость

(6)

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

n=(5, 1, −8),

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M0: x0=4, y0=−3, z0=2.

Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(7)

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M0(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

.

Содержание раздела