С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Для нахождения расстояния от точки M0 до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M0 до проекции точки M0 на плоскость α:
Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:
 |
1. Общее уравнение плоскости имеет вид:
 | (1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
 | (2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:
| (3) |
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
 |
Выразим переменные x, y, z через рараметр t.
 | (4) |
2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.
| A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0, |
| A2t+Ax0+B2t+By0+C2t+Cz0+D=0, |
 | (5) |
Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1(x1, y1, z1) точки M0 на плоскость (1).
3. Найдем, наконец, расстояние от точки M0 до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M0 до плоскости (1) − это расстояние от точки M0 до точки M1. А это расстояние вычисляется так:
    |
Учитывая значение параметра t, имеем:
  | (6) |
Пример 1. Найти расстояние от точки M0(2, -1, -9/31) до плоскости
| (7) |
Решение.
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
| n=(5, 1, 2), |
т.е. A=5, B=1, C=2.
Координаты точки M0: x0=2, y0=−1, z0=−9/31.
Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:
  | (8) |
Из выражений (4) находим:
 |
 |
Проекцией точки M0(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:
 . |
Вычислим расстояние между точками M0 и M1:
 . |
Упростим:
 . |
Ответ:
Расстояние от точки M0(2, -1, -9/31) до плоскости (7):
 . |