С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми, задайте вид уравнения прямых ("канонический", "параметрический" или "общий"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние между прямыми на плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
.
(1)
,
(2)
где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Прямые (1) и (2) могут совпадать, быть паралленьными или пересекаться. Если прямые пересекаются, то понятие расстояния между ними не имеет смысла (не определено). Если прямые совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Если же они параллельны, то расстояние между ними можно вычислить следующими методами:
Метод 1. От точки M1 прямой L1 проводим прямую L3, перпендикулярно прямой L2. Находим точку M3(x3, y3) пересечения прямых L3 и L2. Далее вычисляем расстояние между точками M1(x1, y1) и M3(x3, y3), которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).
Рассмотрим этот метод подробнее. Каноническое уравнение прямой L3, проходящей через точку M1(x1, y1) имеет следующий вид:
,
(3)
где q3={m3, p3} − направляющий вектор прямой L3.
Для того, чтобы прямая L3 была перпендикулярна прямой L2, направляющие векторы этих прямых должны быть ортогональны, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
,
(4)
Так как направляющий вектор прямой не может быть равным нулю, то предположим, что координата m2 вектора q2 отлична от нуля. Тогда в качестве вектора q3 можно взять вектор q3={m3, p3}={p2, −m2}. Следовательно, уравнение прямой L3 получит следующий вид:
,
(5)
Для вычисления координат точки пересечения прямых L2 и L3, решим систему линейных уравнений (2) и (5). Преобразуем эти уравнения сделав перекрестное умножение:
Подставляя значение обратной матрицы (12) в (11), получим:
.
Получили координаты точки M3(x3, y3) пересечения прямых L2 и L3:
.
(13)
Расстояние между точками M1 и M3 равно:
.
(14)
Полученное расстояние d также является расстоянием между прямыми L1 и L2.
Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:
(15)
(16)
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1)=M1(1, 2) и имеет направляющий вектор
q1={m1, p1}={2, 1}
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2)=M2(5, −1) и имеет направляющий вектор
q2={m2, p2}={−4, −2}
Пользуясь формулой (5), построим уравнение прямой L3, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:
(17)
Для вычисления координат точки пересечения прямых L2 и L3, решим систему линейных уравнений (16) и (17). Преобразуем эти уравнения сделав перекрестное умножение:
−2(x−5)=−4(y+1)
4(x−1)=−2(y−2)
Сделаем эквивалентные преобразования:
−2x+4y=−10−4
(18)
4x+2y=4+4
(19)
Запишем систему линейных уравнений (18)-(19) в матричном виде:
Вычислим вектор (x, y)T:
Получили точку M3(x3, y3)=(3, −2), которая является точкой пересечения прямых L2 и L3. Расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между точками M1 и M3. Вычислим это расстояние:
Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=4.47213595.
Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Уравнение прямой L3 в общем виде, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2 имеет следующий вид:
A3(x−x1)+B3(y−y1)=0.
(20)
Для того, чтобы прямая L3 была перпендикулярна прямой L2, нормальный вектор n3={A3, B3} прямой L3 должен быть коллинеарным направляющему вектору q2 прямой L2. Поэтому в качестве нормального вектора прямой L3 можно взять вектор q2={m2, p2}. Подставим координаты вектора q2 в (20):
m2(x−x1)+p2(y−y1)=0.
Сделаем преобразования:
(21)
Приведем уравнение прямой (2) к параметрическому виду:
(22)
Подставим (22) в (21) и решим относительно t:
(23)
Мы получили такое значение t, при котором соответствующая точка на прямой L2 удовлетворяет уравнению прямой L3, т.е. находится на этой прямой (является точкой пересечения прямых L2 и L3). Подставляя значение t в (22), получим координаты точки M3(x3, y3). Далее вычисляем расстояние между точками M1 и M3:
(24)
Пример 2. Найти расстояние между прямыми
(25)
и
(26)
Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1)=M1(1, 1) и имеет направляющий вектор
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2)=M2(3, −1) и имеет направляющий вектор
Уравнение прямой L3, проходящей через точку M1 и имеющий нормальный вектор n3={A3, B3} представляется формулой:
(27)
Для того, чтобы прямая L3 была перпендикулярна прямой L2, нормальный вектор n3={A3, B3} прямой L3 должен быть коллинеарным направляющему вектору q2 прямой L2. Поэтому в качестве нормального вектора прямой L3 можно взять вектор q2={m2, p2}={6, 9}. Подставим координаты вектора q2 и координаты точкиM1 в (27):
После упрощения получим уравнение прямой L3, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:
(28)
Для нахождения точки пересечения прямых L2 и L3 проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой L2. Составим параметрическое уравнение прямой L2:
Выразим переменные x, y через параметр t :
(29)
Подставим значения x, y из выражения (29) в (28) и решим относительно t:
Подставляя значение t в выражения (29), получим координаты точки M3:
Вычислим расстояние между точками M1 и M3
Ответ. Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:
2. Расстояние между прямыми в общем виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы параллельные прямые L1 и L2:
(30)
(31')
где n1={A1, B1} и n2={A2, B2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно. Так как прямые параллельны, то можно один из них умножить на какое-то число так, чтобы нормальные векторы этих прямых совпадали. Пусть A2≠0. Умножим (31') на A1/A'2. Тогда уравнение (2') примет следующий вид:
(31)
где n2={A1, B1} − направляющий вектор прямой L2, а
Покажем, что расстояние между прямыми L1 и L2 равно:
(32)
Метод 1. Пусть A1≠0. Тогда точка M1(x1, y1)=M1(−C1/A1, 0) принадлежит прямой L1. Это легко проверить, подставив координаты точки M1 в (30). Построим уравнение прямой, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:
A3(x−x1)+B3(y−y1)=0
Поскольку прямая L3 перпендикулярна прямой L2, то нормальные векторы этих прямых ортогональны. Тогда вместо нормального вектора n3={A3, B3} прямой L3 можно взять вектор, ортогональный нормальному вектору n2, т.е. вектор n3={B1, −A1} (так как скалярное произведение этих векторов равно нулю). Тогда имеем:
B1(x−x1)−A1(y−y1)=0
(33)
Подставим координаты точки M1(x1, y1)=M1(−C1/A1, 0) в (33) и откроем скобки:
(34)
Найдем точку пересечения прямых L2 и L3. Для этого решим систему линейных уравнений (31),(34), представляя в матричном виде:
Решим (34):
Получили точку пересечения M3(x3, y3) прямых L2 и L3:
,
Вычислим расстояние между мочками M1(x1, y1) и M3(x3, y3):
Наконец, расстояние между точками M1 и M3, и следовательно, расстояние между прямыми L1 и L2 равно:
(35)
Метод 2. Воспользуемся понятием отклонения точки от прямой. Пусть M1(x1, y1) точка, принадлежащая прямой (30), Тогда выполняется равенство
Запишем формулу отклонения точки M1(x1, y1) от прямой L2:
при С2≥0
при С2<0
Учитывая равенство (35), получим:
при С2≥0
(36)
при С2<0
(37)
Расстояние от точки M1(x1, y1) до прямой L2 равно модулю отклонения M1 от прямой L2:
.
(38)
Мы получили расстояние от точки M1 до прямой L2. Это же расстояние также является расстоянием между прямыми L1 и L2
Пример 3. Найти расстояние между прямыми
L1: x1+2y1−2=0,
L2: x1+2y1+6=0,
Нормальный вектор прямой L1 равен n1={A1, B1}={1, 2}. Нормальный вектор прямой L2 равен n2={A2, B2}={A1, B1}={1, 2}. Поскольку нормальные векторы этих плоскостей совпадают, то расстояние между прямыми L1 и L2 можно вычислить формулой (38):
.
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
, 
при С2≥0
при С2<0
при С2≥0
.