Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

 

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

где M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) − точки, лежащие на прямых L₁ и L₂, а q₁={m₁, p₁, l₁} и q₂={m₂, p₂, l₂} − направляющие векторы прямых L₁ и L₂, соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M₁ прямой L₁ проводим плоскость α, перпендикулярно прямой L₂. Находим точку M₃(x₃, y₃, y₃) пересечения плоскости α и прямой L₃. По сути мы находим проекцию точки M₁ на прямую L₂. Как найти проекцию точки на прямую посмотрите здесь. Далее вычисляем расстояние между точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₃(x₃, y₃, z₃):

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

Подставляя значения m₂, p₂, l₂, x₁, y₁, z₁ в (5) получим :

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

где

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁}={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n₁={A₁, B₁, C₁} − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q₁={m₁, p₁, l₁}={1, 3, −2}.

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q₂={m₂, p₂, l₂}={2, −3, 7}.

Шаг 1.

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁={m₁, p₁, l₁} плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (34)−(36). Подставим значения x₁, y₁, z₁, m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (27)−(29):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A₁, B₁, C₁, D₁:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₁, B₁, C₁, D₁ в (42), получим:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Шаг 2.

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂={m₂, p₂, l₂} плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (37)−(39). Подставим значения x₂, y₂, z₂, m₂, p₂, l₂, m₁, p₁, l₁ в (37)−(39):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (50) отностительно A₂, B₂, C₂, D₂:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₂, B₂, C₂, D₂ в (52), получим:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Шаг 3.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

где n₁={A₁, B₁, C₁}={15, −11, −9} и n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −11, −9} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно, а свободные члены равны D₁=17, D₂=−83, соответственно.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

Подставим значения A₁, B₁, C₁, D₁, D₂ в (54):

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339