Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:

α1:  A1x+B1y+C1z+D1=0,(1)
α2:  A2x+B2y+C2z+D2=0,(2)

где n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} − нормальные векторы плоскостей α1 и α2, соответственно.

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 коллинеарны (Рис.1).

Поскольку векторы n1 и n2 коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n1=λn2, т.е. A1=λA2, B1=λB2, C1=λC2.

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α2:  A1x+B1y+C1z+λD2=0,(3)

Если выполненио равенство D1=λD2, то плоскости α1 и α2 совпадают, если же D1λD2то плоскости α1 и α2 параллельны, то есть не пересекаются.

2. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 не коллинеарны (Рис.2).

Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

,(5)

где x0, y0, z0, m, p, l действительные числа, а t − переменная.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

.(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

.

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:

α1:  x+2y+z+54=0.(7)
α2:  2x+9y−5z+32=0.(8)

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 1}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 9, −5}.

Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

.(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.(10)

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

Получим решение:

.(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

.(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:

(14)
(15)

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 7}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 4, 14}.

Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:

(17)
(18)

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={5, −2, 3}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={15, −6, 9}.

Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.